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id: ai.vector-db.ann-metrics
title: 向量检索原理：距离度量、暴力检索、HNSW / IVF 近似索引
type: lesson
domain: ai
stack: [vector-db]
tags: [向量检索, 余弦相似度, 内积, L2, HNSW, IVF, PQ, 召回率]
level: basic
prerequisites: [ai.rag.pipeline-chunking]
est_hours: 2.5
related: [ai.vector-db.selection-pgvector, ai.rag.hybrid-rerank, ai.vector-db.interview]
week: [5]
order: 1
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# 向量检索原理：距离度量、暴力检索、HNSW / IVF 近似索引

## 解释说明

**嵌入（embedding）** 把一段文本变成一个固定长度的浮点数组（例如 768、1024、1536 维），语义相近的文本向量也相近。向量数据库要解决的问题就是：给定一个查询向量，从几百万个向量中**快速**找出最相近的 k 个（k 近邻，kNN）。

### 距离度量

| 度量 | 含义 | 什么时候用 |
| --- | --- | --- |
| 余弦相似度（cosine） | 两个向量夹角的余弦，只看方向不看长度 | 文本嵌入最常用 |
| 内积（inner product, IP / dot） | 对应元素相乘求和 | 向量已归一化时**和余弦等价且更快** |
| 欧氏距离（L2） | 两点之间的直线距离 | 部分模型推荐；归一化向量的 L2 排序和余弦排序一致 |

规则：**用嵌入模型文档推荐的度量**；如果向量已归一化（长度为 1），三种度量的排序结果一致。注意“距离”和“相似度”方向相反：余弦距离 = 1 − 余弦相似度，越小越相近。

### 暴力检索和近似检索

- **暴力检索（精确）**：查询向量和所有向量逐一计算，复杂度 O(N·d)。几万条以内完全够用（numpy 一次矩阵乘法），而且结果是精确的。
- **近似最近邻（ANN）**：用索引结构牺牲一点准确度，换取数量级的速度提升。衡量指标是**召回率**：近似结果和精确结果的重合比例。

### 常见索引

| 索引 | 原理 | 关键参数 | 特点 |
| --- | --- | --- | --- |
| **HNSW** | 多层“小世界”图，从稀疏的上层快速定位，逐层向下精细搜索 | `M`（每个点的连接数）、`ef_construction`（建索引时的候选数）、`ef_search`（查询时的候选数） | 查询快、召回高，**最常用**；内存占用大，建索引慢 |
| **IVF**（倒排文件） | 先用聚类把向量分成 `nlist` 个桶，查询时只搜最近的 `nprobe` 个桶 | `nlist` / `lists`、`nprobe` / `probes` | 建索引快、省内存；要先有数据才能训练聚类中心，数据分布变化后要重建 |
| **PQ**（乘积量化） | 把向量切段并压缩成编码 | 段数、码本大小 | 大幅省内存，精度下降，常和 IVF 组合（IVF_PQ） |
| DiskANN 等磁盘索引 | 索引放在 SSD 上 | —— | 数据量超出内存时使用 |

参数的规律：`ef_search` / `nprobe` 调大 → 召回率上升、延迟上升。**用自己的数据和评测集测出合适的值**，不要照抄。

### 过滤和近似索引的冲突

带条件的查询（只搜某租户 / 某部门）在近似索引上有一个经典问题：索引先返回 top-N 个近邻，再按条件过滤，如果满足条件的数据很少，过滤后可能不足 k 个甚至为空。解决办法：数据库内置的过滤遍历（例如 pgvector 0.8 的迭代索引扫描、Milvus 的过滤搜索）、增大候选数、按租户分区 / 分集合、过滤条件非常严格时直接走精确检索。

## 案例

制度问答知识库有 3 万个块：直接用 numpy 暴力检索，单次查询几毫秒，没有召回损失。业务扩展到 50 个租户、800 万个块后，暴力检索需要几百毫秒，改用 HNSW 索引；上线前用 200 个评测问题对比 HNSW 和暴力检索的结果，调整 `ef_search` 使召回率达到 0.95 以上，同时 P99 延迟满足要求。

## 代码示例

用 numpy 实现暴力检索，验证“归一化后余弦 = 内积，L2 排序一致”：

```python
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(0)
docs = rng.normal(size=(1000, 64)).astype(np.float32)
q = rng.normal(size=64).astype(np.float32)

docs_n = docs / np.linalg.norm(docs, axis=1, keepdims=True)
q_n = q / np.linalg.norm(q)

cos = docs_n @ q_n                                # 余弦相似度（越大越近）
ip = docs_n @ q_n                                 # 归一化后内积就是余弦
l2 = np.linalg.norm(docs_n - q_n, axis=1)         # 欧氏距离（越小越近）

top_cos = np.argsort(-cos)[:5]
top_l2 = np.argsort(l2)[:5]
assert list(top_cos) == list(top_l2)              # 归一化后排序一致
print(top_cos, np.round(cos[top_cos], 3))

# 未归一化时内积会偏向长度大的向量，排序可能不同
top_ip_raw = np.argsort(-(docs @ q))[:5]
print("未归一化内积 top5：", top_ip_raw)
```

近似索引和精确检索的召回率对比（Chroma HNSW、pgvector HNSW）见 [examples/vector-stores](examples/vector-stores/)。

## 易错点

- 嵌入模型和度量不匹配：模型输出未归一化却用内积，结果偏向长向量。
- 入库和查询使用了**不同的嵌入模型**（或同一模型的不同版本）：向量空间不一致，检索结果完全不对。换模型必须全量重新嵌入。
- 把“距离”当“相似度”用：阈值方向写反。
- 只看近似检索的结果，不和暴力检索对比，不知道召回率是多少。
- 数据量很小也上复杂的向量数据库：几万条以内 numpy / pgvector 精确检索就够了。
- IVF 索引在空表上建立：聚类中心没有意义，召回率很低。应在导入有代表性的数据之后再建。

## 面试常问

- 余弦相似度、内积、L2 的区别？什么时候结果一样？
- HNSW 的原理和关键参数？`ef_search` 调大会怎样？
- HNSW 和 IVF 怎么选？
- 带过滤条件的向量检索为什么可能召回不足？怎么解决？